, ,
с однородными краевыми условиями u (0, у) = u (х, 0) = u (1, у) = u (х, 1) = 0 на прямоугольной равномерной сетке с узлами xi1 = i1h1, yi2 = i2h2, где i1 = 0, 1,..., N1, i2 = 0, 1,..., N2, h1 = 1/N1, h2 = 1/N2, наиболее употребительной является разностная схема:
(4)
Для интегрального уравнения (См. Интегральные уравнения)
,
,
на равномерной сетке с узлами xi = ih, где i = 0, 1, 2,..., N, h = 1/N, простейшая система сеточных уравнении имеет вид:
,
Помимо указанных выше равномерных прямоугольных сеток, могут использоваться сетки более общего вида, например неравномерные, а для уравнения (3) и непрямоугольные. Сеточные уравнения на таких сетках выглядят более сложно. Если уравнение (3) решается в области, отличной от прямоугольника, то даже на равномерной прямоугольной сетке аппроксимация краевых условий становится менее очевидной.
При выборе той или иной сеточной аппроксимации большое значение имеет величина погрешности аппроксимации (п. а.). Так, для уравнений (2) п. а. есть величина O (τ +
h2) при любом σ, O (τ
2 +
h2) при σ
= 0.5 и O (τ
2 +
h 4) при σ
= 0,5 —
h2/12τ. Для схемы (4) п. а. есть величина O (
h12 + h22). Наличие хорошей аппроксимации уравнений и краевых условий сеточными уравнениями ещё не гарантирует того, что решение системы сеточных уравнений будет в некотором смысле близко к решению исходной задачи. Нужно ещё, чтобы решение сеточных уравнений было устойчивым, т. е. непрерывно (равномерно непрерывно относительно выбора сетки) зависело от правой части и начальных и краевых данных. Только наличие хорошей аппроксимации и устойчивости гарантирует сходимость решений сеточных уравнений к решению исходного уравнения при неограниченном измельчании сетки. Отметим, что схема (2) устойчива при
Системы сеточных уравнений представляют собой системы линейных алгебраических уравнений. Порядок системы будет тем выше, чем мельче сетка. Но точность приближённого решения зависит от величины шагов сетки, и она тем больше, чем меньше шаги. Поэтому получающиеся алгебраические системы обычно имеют довольно высокий порядок.
Лит.: Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971; Годунов С. К., Рябенький В. С., Разностные схемы, М., 1973.
В. Б. Андреев, А. А. Самарский.